Bartosz Białek to wychowanek Zagłębia Lubin. Swój macierzysty klub opuścił jednak w 2020 roku, kiedy to przeszedł do Wolfsburga. Transakcja opiewała wówczas na pięć milionów euro. Rosły napastnik w debiutanckim sezonie w Bundeslidze zdobył dwie bramki, choć na murawie przebywał przez zaledwie 252 minuty. Być może byłoby ich więcej, gdyby nie zerwanie więzadeł krzyżowych. W sierpniu 2022 roku został wypożyczony do Vitesse Arnhem. Tam, choć wywalczył sobie miejsce w podstawowym składzie, to nie zachwycał skutecznością. W trosce o jego dalszy rozwój, niespełna rok później, Wolfsburg ponownie postanowił wypożyczyć Polaka. Tym razem do Belgii.
Niestety, przygoda Bartosza Białka z KAS Eupen nie zaczęła się najlepiej. Zawodnik doznał koszmarnej kontuzji kolana w meczu towarzyskim przeciwko Marsylii, przez co musiał przerwać treningi i poddać się operacji, a następnie rozpocząć długi proces rehabilitacji. 22-latek do gry wrócił 7 kwietnia. Wówczas zawodnik zagrał w spotkaniu kontrolnym pomiędzy jego obecnym klubem a Borussią Moenchengladbach. Potyczka zakończyła się zwycięstwem niemieckiego klubu 2:0, a Białek przebywał na murawie przez 90 minut.
W piątek 26 kwietnia rozegrał swój czwarty meczu w Jupiler League. Tego dnia jego Eupen zmierzył się u siebie z Charleroi w ramach 34. kolejki w grupie spadkowej. Bartosz Białek rozpoczął to spotkanie w podstawowym składzie i przebywał na boisku do ostatniego gwizdka. Jego drużyna źle weszła w mecz, bo po pierwszej połowie przegrywali z przyjezdnymi 0:2. Po przerwie zawodnicy Eupen próbowali zdobyć kontaktową bramkę. Początkowo brakowało im skuteczności i pomysłu na wykończenie akcji, ale w końcu dopięli swego.
W 86. minucie Bartosz Białek wpisał się na listę strzelców. Po szybkim ataku Polak strzałem z pierwszej piłki prawą nogą ustalił wynik spotkania na 1:2.
Sytuacja Eupen w Jupiler League jest bardzo skomplikowana. Obecnie klub zajmuje czwarte, czyli ostatnie miejsce w grupie spadkowej.